Rajah 1 menunjukkan planet Marikh yang mengorbit Matahari secara membulat dengan tempoh peredaran, T.
(a) Bagi planet Marikh, tuliskan rumus bagi:
(i) daya graviti dalam sebutan m, M dan r,
(ii) daya memusat dalam sebutan m, v dan r, serta
(iii) laju linear dalam sebutan r dan T.
(b) Terbitkan satu ungkapan bagi jisim Matahari dalam sebutan r dan T dengan menggunakan tiga rumus dalam (a).
(c) Jejari orbit Marikh ialah r = 2.28 × 1011 m dan tempoh peredarannya ialah T = 687 hari. Hitungkan jisim Matahari.
Jawapan:
(a)(i)
$$
F=\frac{G M m}{r^2}
$$
(a)(ii)
$$
F=\frac{m v^2}{r}
$$
(a)(iii)
$$
v=\frac{2 \pi r}{T}
$$
(b)
Daya graviti bertindak sebagai daya memusat
$$
\begin{aligned}
\frac{G M m}{r^2} & =\frac{m v^2}{r} \\
\text { Hapuskan } m, \quad \frac{G M}{r^2} & =\frac{v^2}{r}
\end{aligned}
$$
Ganti
$$
\begin{aligned}
v=\frac{2 \pi r}{T}, \quad \frac{G M}{r^2} & =\frac{1}{r}\left(\frac{2 \pi r}{T}\right)^2 \\
\frac{G M}{r^2} & =\frac{1}{r}\left(\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}\right) \\
M & =\frac{1}{r}\left(\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}\right) \frac{r^2}{G} \\
M & =\frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}
\end{aligned}
$$
(c)
$$
\begin{aligned}
& 1 \text { hari }=24 \text { jam, } 1 \text { jam }=3600 \mathrm{~s} \\
& T=687 \text { hari } \\
& =(687 \times 24 \times 3600) s \\
& M=\frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2} \\
& M=\frac{4 \pi^2\left(2.28 \times 10^{11}\right)^3}{\left(6.67 \times 10^{-11}\right)(687 \times 24 \times 3600)^2} \\
& =1.99 \times 10^{30} \mathrm{~kg} \\
&
\end{aligned}
$$
Sebuah satelit mengorbit Bumi dengan jejari, r dan tempoh, T.
(a) Tuliskan laju linear satelit itu dalam sebutan r dan T.
(b) Gunakan rumus-rumus lain yang sesuai untuk menerbitkan rumus bagi laju linear satelit itu dalam sebutan r dan M. M ialah jisim Bumi.
(c) Mengapakah laju linear satelit yang mengorbit Bumi tidak bergantung pada jisim satelit itu?
Jawapan:
(a)
$$
v=\frac{S}{t}=\frac{2 \pi r}{T}
$$
(b)
Daya graviti di antara satelit dengan Bumi,
$$
\begin{aligned}
F=\frac{G M m}{r^2}, \quad M & =\text { jisim Bumi } \\
\text { Daya memusat } & =\text { Daya graviti } \\
\frac{m v^2}{r} & =\frac{G M m}{r^2}
\end{aligned}
$$
Hapuskan jisim satelit, m
$$
\begin{aligned}
\frac{v^2}{r} & =\frac{G M}{r^2} \\
v^2 & =\frac{G M}{r} \\
v & =\sqrt{\frac{G M}{r}}
\end{aligned}
$$
(c)
Satelit jatuh bebas mengelilingi Bumi dengan pecutan memusat yang sama dengan pecutan graviti. Pecutan graviti tidak bergantung pada jisim objek.
